Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

Paso 7.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

Paso 7.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

Paso 7.6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

Paso 7.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

Paso 7.8.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

Paso 7.9

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.9.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.9.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 7.9.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.9.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

Paso 7.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

Paso 7.11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

Paso 7.12

Reescribe $- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ como $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

Paso 7.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

Paso 7.14

Simplifica.

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Paso 7.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Paso 7.14.2

Simplifica.

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Paso 7.14.2.1

Multiplica $- (- x^{2} e^{- x})$ .

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Paso 7.14.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Paso 7.14.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Paso 7.14.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Paso 7.14.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $2 x$ por $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.3.2

Divide $2$ por $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ .

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ .

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Paso 10.2

Simplifica $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Paso 10.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

Paso 10.2.1.4

Divide $C$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 + C = 0$

Paso 10.2.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + 2 + C$ .

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Paso 10.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 2 + C = 0$

Paso 10.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$2 + C = 0$

Paso 10.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$C = - 2$

Paso 11

Sustituye $- 2$ por $C$ en $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $- 2$ por $C$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

Paso 11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$