Cálculo Ejemplos

$3 \frac{d y}{d x} = (4 x^{3} - 1) y^{4}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} ((4 x^{3} - 1) y^{4})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{4}$ de $(4 x^{3} - 1) y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = 4 x^{3} - 1$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{y^{4}}$ y $3$ .

$\int \frac{3}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.3.1

Mueve $y^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.3.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.3.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$3 \int y^{- 4} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 4}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1.1

Combina $y^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5.1.2

Mueve $y^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.2.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$\frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5.3.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 2.2.5.3.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 y^{3}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2.5.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{3}, 1, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{3}$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ por $y^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ por $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y^{3}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$ .

$x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $y^{3}$ de $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $x^{4} y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $y^{3}$ de $- x y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + K y^{3} = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $y^{3}$ de $K y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + y^{3} K = - 1$

Paso 3.3.2.4

Factoriza $y^{3}$ de $y^{3} x^{4} + y^{3} (- x)$ .

$y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K = - 1$

Paso 3.3.2.5

Factoriza $y^{3}$ de $y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K$ .

$y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ por $x^{4} - x + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ por $x^{4} - x + K$ .

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{4} - x + K$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} = - \frac{1}{x^{4} - x + K}$

Paso 3.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Paso 3.3.5

Simplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$ .

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Paso 3.3.5.1

Reescribe $- \frac{1}{x^{4} - x + K}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}$ .

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Paso 3.3.5.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Paso 3.3.5.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Paso 3.3.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Paso 3.3.5.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Paso 3.3.5.4

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Paso 3.3.5.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Paso 3.3.5.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}})$

Paso 3.3.5.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.5.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Paso 3.3.5.7.2

Eleva $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ a la potencia de $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Paso 3.3.5.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1 + 2}}$

Paso 3.3.5.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}}$

Paso 3.3.5.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}$ como $x^{4} - x + K$ .

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Paso 3.3.5.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ como ${(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{({(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.3.5.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.3.5.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.3.5.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.5.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.3.5.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{1}}$

Paso 3.3.5.7.5.5

Simplifica.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{x^{4} - x + K}$

Paso 3.3.5.8

Reescribe ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}}{x^{4} - x + K}$