Cálculo Ejemplos

$2 (y + 3) d x - x (y d) y = 0$

Paso 1

Resta $2 (y + 3) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y d y = - 2 (y + 3) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$\frac{1}{x (y + 3)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x (y + 3)}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y + 3} y d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Paso 3.3

Combina $\frac{- 1}{y + 3}$ y $y$ .

$\frac{- y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Paso 3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - 2 \frac{1}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Paso 3.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $y + 3$ de $x (y + 3)$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Paso 3.7.2

Cancela el factor común.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Paso 3.7.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - \frac{2}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.2

Divide $y$ por $y + 3$ .

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Paso 4.2.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$3$

$y$

$0$

Paso 4.2.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	+	$0$

Paso 4.2.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$3$

Paso 4.2.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + 3$ .

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$

Paso 4.2.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$
					-	$3$

Paso 4.2.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \int 1 - \frac{3}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.4

Aplica la regla de la constante.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.6

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y + 3} d y)) = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.8

Sea $u = y + 3$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.8.1

Deja $u = y + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.8.1.1

Diferencia $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Paso 4.2.8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 4.2.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 4.2.8.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.2.8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| u |) + C_{2})) = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.10

Simplifica.

$- (y - 3 \ln (| u |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 3$ .

$- (y - 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.12

Simplifica.

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Paso 4.2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y - (- 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.12.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) = - 2 \ln (| x |) + C$