Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $28$ es constante con respecto a $t$ , mueve $28$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 28 \int t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = 7 t^{2} - 5$ . Entonces $d u = 14 t d t$ , de modo que $\frac{1}{14} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 7 t^{2} - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $7 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2} - 5]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 t^{2} - 5$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7 t^{2}$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$14 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$14 t + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $14 t$ y $0$ .

$14 t$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$s + C_{1} = 28 \int u^{3} \frac{1}{14} d u$

Paso 2.3.3

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{14}$ .

$s + C_{1} = 28 \int \frac{u^{3}}{14} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{14}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{14}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 28 (\frac{1}{14} \int u^{3} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{14}$ y $28$ .

$s + C_{1} = \frac{28}{14} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $28$ y $14$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $14$ de $28$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $14$ de $14$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 (1)} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $5$ por $s$ en $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ .

$5 = \frac{1}{2} {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1 - 5)}^{4} + K = 5$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 - 5)}^{4} + K = 5$

Paso 4.2.2

Resta $5$ de $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 5$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $2$ de $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

Paso 4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$2^{3} + K = 5$

Paso 4.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 + K = 5$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 5 - 8$

Paso 4.3.2

Resta $8$ de $5$ .

$K = - 3$

Paso 5

Sustituye $- 3$ por $K$ en $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 3$ por $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} - 3$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Usa el teorema del binomio.

$s = \frac{1}{2} ({(7 t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla del producto a $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (7^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{4}$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{2 \cdot 4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.4

Aplica la regla del producto a $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (7^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.5

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.6

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{3}$ .

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Paso 5.2.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{6}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.7

Multiplica $343$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 1372 t^{6} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.8

Multiplica $- 5$ por $1372$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.9

Aplica la regla del producto a $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (7^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.10

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.11

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.2.2.11.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{2 \cdot 2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{4}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.12

Multiplica $49$ por $6$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.13

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} \cdot 25 + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.14

Multiplica $25$ por $294$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.15

Multiplica $7$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.16

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} \cdot - 125 + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.17

Multiplica $- 125$ por $28$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Paso 5.2.2.18

Eleva $- 5$ a la potencia de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + 625) - 3$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4

Simplifica.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{2} (2401 t^{8})$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Combina $2401$ y $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{2401}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.1.2

Combina $\frac{2401}{2}$ y $t^{8}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 6860 t^{6}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Factoriza $2$ de $7350 t^{4}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.3.2

Cancela el factor común.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.3.3

Reescribe la expresión.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 3500 t^{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.4.2

Cancela el factor común.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.4.3

Reescribe la expresión.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Paso 5.2.4.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3$

Paso 5.3

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.4

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 3 \cdot 2}{2}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 6}{2}$

Paso 5.6.2

Resta $6$ de $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{619}{2}$