Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x^{2} + 8$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x^{2} + 8$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Combina $u^{- \frac{1}{3}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $u^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ como $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.3.7.2.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 8$ .

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ .

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ .

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $8$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Paso 4.2.3

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Paso 4.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

Paso 4.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 4 + K = 0$

Paso 4.2.7

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 + K = 0$

Paso 4.3

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 12$

Paso 5

Sustituye $- 12$ por $K$ en $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 12$ por $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$