Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $y \tan (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = - y \tan (x)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- y \tan (x))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (y \tan (x))$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $y$ de $y \tan (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (\tan (x)))$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \tan (x)$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - \tan (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \tan (x) d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \tan (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \tan (x) d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (x) |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \ln (| \sec (x) |) = C$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | \sec (x) |) = C$

Paso 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| y \sec (x) |) = C$

Paso 3.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y \sec (x) |)} = e^{C}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (| y \sec (x) |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y \sec (x) |$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $| y \sec (x) | = e^{C}$ .

$| y \sec (x) | = e^{C}$

Paso 3.6.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y \sec (x) = \pm e^{C}$

Paso 3.6.3

Divide cada término en $y \sec (x) = \pm e^{C}$ por $\sec (x)$ y simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Divide cada término en $y \sec (x) = \pm e^{C}$ por $\sec (x)$ .

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Paso 3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.2.1

Cancela el factor común de $\sec (x)$ .

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Paso 3.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Paso 3.6.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Paso 3.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.3.1

Separa las fracciones.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Paso 3.6.3.3.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Paso 3.6.3.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (x))$

Paso 3.6.3.3.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (x)$

Paso 3.6.3.3.5

Divide $\pm e^{C}$ por $1$ .

$y = (\pm e^{C}) \cos (x)$

Paso 3.6.3.3.6

Reordena los factores en $(\pm e^{C}) \cos (x)$ .

$y = \cos (x) (\pm e^{C})$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \cos (x) C$