Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{81}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} (x^{2} + \frac{1}{81})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{2} + \frac{1}{81}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} (x^{2} + \frac{1}{81})$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} d x = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} d x = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reordena $x^{2}$ y $\frac{1}{81}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{81} + x^{2}} d x = \int d t$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{81}$ como ${(\frac{1}{9})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{9})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{9})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{1}{9}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{9}$ .

$1 \cdot 9 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.4.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{9}$ .

$9 \arctan (x \cdot 9) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.4.4

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$9 \arctan (9 x) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$9 \arctan (9 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$9 \arctan (9 x) = t + K$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Divide cada término en $9 \arctan (9 x) = t + K$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $9 \arctan (9 x) = t + K$ por $9$ .

$\frac{9 \arctan (9 x)}{9} = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \arctan (9 x)}{9} = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\arctan (9 x)$ por $1$ .

$\arctan (9 x) = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

Paso 3.2

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la arcotangente.

$9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$

Paso 3.3

Divide cada término en $9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{9} + K)}{9}$