Cálculo Ejemplos

$9 y \frac{d y}{d x} = 7 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$9 y d y = 7 x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 9 y d y = \int 7 x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $9$ es constante con respecto a $y$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int y d y = \int 7 x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2

Combina $9$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $7 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $7 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $7$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{9}{2} y^{2} = \frac{7}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9} (\frac{9}{2} y^{2}) = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{2}{9} (\frac{9}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{9}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y^{2}}{2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Combinar.

$\frac{2 (9 y^{2})}{9 \cdot 2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (9 y^{2})}{9 \cdot 2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{7}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{9} (\frac{7 x^{3}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{7 x^{3}}{3} + \frac{2}{9} K$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combinar.

$y^{2} = \frac{2 (7 x^{3})}{9 \cdot 3} + \frac{2}{9} K$

Paso 3.2.2.1.1.4

Combina $\frac{2}{9}$ y $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (7 x^{3})}{9 \cdot 3} + \frac{2 K}{9}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$y^{2} = \frac{14 x^{3}}{9 \cdot 3} + \frac{2 K}{9}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$y^{2} = \frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9}}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $\frac{2 K}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9} \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{2 K}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K \cdot 3}{9 \cdot 3}}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K \cdot 3}{27}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3} + 2 K \cdot 3}{27}}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $2$ de $14 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

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Paso 3.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $14 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{27}}$

Paso 3.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{27}}$

Paso 3.4.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (7 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + K \cdot 3)}{27}}$

Paso 3.4.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{27}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{27}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}$ .

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Paso 3.4.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $2 (7 x^{3} + 3 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (7 x^{3} + 3 K))}{27}}$

Paso 3.4.5.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $27$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (7 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

Paso 3.4.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (2 (7 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}}$

Paso 3.4.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}}$

Paso 3.4.7

Reescribe $\sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.8

Combinar.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 3.4.9

Multiplica $\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 3.4.10

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.4.11.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 3.4.11.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Paso 3.4.11.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Paso 3.4.11.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.11.6

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.4.11.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.4.11.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.11.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.11.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.11.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.11.7.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.11.7.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Paso 3.4.11.7.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.4.12

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.12.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.4.12.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.4.13

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + K)}}{9}$