Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 2$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

Paso 2.3

Multiplica $e^{2 t}$ por $1$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 6.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 6.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Paso 6.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Paso 6.5

Simplifica.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Paso 6.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ por $e^{2 t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ por $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 t}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{2 t}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $\frac{2}{5}$ por $y$ en $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

Paso 9.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Paso 9.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

Paso 9.3.2

Para escribir $\frac{2}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 9.3.3

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 9.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $10$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.4.1

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 9.3.4.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 9.3.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

Paso 9.3.4.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

Paso 9.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

Paso 9.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$C = \frac{4 - 5}{10}$

Paso 9.3.6.2

Resta $5$ de $4$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

Paso 9.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = - \frac{1}{10}$

Paso 10

Sustituye $- \frac{1}{10}$ por $C$ en $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $- \frac{1}{10}$ por $C$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{1}{e^{2 t}}$ por $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

Paso 10.2.3

Mueve $10$ a la izquierda de $e^{2 t}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$