Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1$ , $y (1) = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Paso 2.3.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \int \frac{x}{2} d x + \int d x$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int d x$

Paso 2.3.8

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + C_{5}$

Paso 2.3.10

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ .

$2 = \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1 + 1 + K = 2$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.2

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.3

Para escribir $- \frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 4 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.6.2

Resta $3$ de $8$ .

$\frac{5}{12} + 1 + K = 2$

Paso 4.2.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{5}{12} + \frac{12}{12} + K = 2$

Paso 4.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 + 12}{12} + K = 2$

Paso 4.2.9

Suma $5$ y $12$ .

$\frac{17}{12} + K = 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{17}{12}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 2 - \frac{17}{12}$

Paso 4.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$K = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{17}{12}$

Paso 4.3.3

Combina $2$ y $\frac{12}{12}$ .

$K = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{17}{12}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{2 \cdot 12 - 17}{12}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $2$ por $12$ .

$K = \frac{24 - 17}{12}$

Paso 4.3.5.2

Resta $17$ de $24$ .

$K = \frac{7}{12}$

Paso 5

Sustituye $\frac{7}{12}$ por $K$ en $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{7}{12}$ por $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Paso 5.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{7}{12}$