Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (x)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{2})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{2}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

Paso 2.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

Paso 2.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

Paso 2.3.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Paso 7

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{2}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{5} x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $\frac{2}{5}$ por $y$ en $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Paso 9.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Paso 9.2.3

Divide $C$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Resta $\frac{1}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

Paso 9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

Paso 9.3.3

Resta $1$ de $2$ .

$C = \frac{1}{5}$

Paso 10

Sustituye $\frac{1}{5}$ por $C$ en $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $\frac{1}{5}$ por $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Paso 10.2.2

Combinar.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

Paso 10.2.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$