Cálculo Ejemplos

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 y + t$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + t$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

Paso 3.3

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

Paso 3.4

Como $t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $t$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Paso 3.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 0$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = 0$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - 1}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $y$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{0 - 1}{y}$

Paso 5.3.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{y}$

Paso 5.3.3

Sustituye $y$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Simplifica $- \ln (| y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Paso 6.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $y d t + (2 y + t) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $y$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $2 y + t$ por $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $2 y + t$ por $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = 1$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Paso 12.3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Paso 12.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $\frac{2 y + t}{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Paso 13.3

Divide la fracción en varias fracciones.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

Paso 13.4

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Paso 13.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 13.5.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Paso 13.5.2

Divide $2$ por $1$ .

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

Paso 13.6

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

Paso 13.7

Dado que $t$ es constante con respecto a $y$ , mueve $t$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

Paso 13.8

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

Paso 13.9

Simplifica.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$