Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 y - 2 y + 5}$ .

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $3 y - 2 y + 5$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 5}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \frac{1}{2 x + 5} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Resta $2 y$ de $3 y$ .

$\int \frac{1}{y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u_{1} = y + 5$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u_{1} = y + 5$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Paso 2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 5$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 2.2.2.1.4

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 2 x + 5$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 2 x + 5$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.3.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 2 x + 5 |)$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} + C$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 5 |) - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Paso 3.3

Para escribir $\ln (| y + 5 |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $\ln (| y + 5 |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Paso 3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2 - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| y + 5 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Paso 3.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.1

Simplifica $\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2}$ .

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Paso 3.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y + 5 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({| y + 5 |}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Paso 3.6.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y + 5 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{\ln ({(y + 5)}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Paso 3.6.1.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2} = C$

Paso 3.6.1.2

Reescribe $\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}) = C$

Paso 3.6.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.6.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}$ .

$\ln (\frac{{({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.5.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.6.1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.1.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{1}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.2

Simplifica.

$\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Paso 3.8

Reescribe $\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.9

Resuelve $y$

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Paso 3.9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Paso 3.9.2

Multiplica ambos lados por ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.9.3.1

Cancela el factor común de ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.9.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y + 5 = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = C {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$