Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 5 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 1 + x^{3}$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 1 + x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $0$ y $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 5 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 5 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 2.3.5

Combina fracciones.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $5$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $\frac{5}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{5}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $\frac{5}{3}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{3} {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{10}{3} {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$