Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x + 2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{1}{3 x + 2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 3 x + 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.3.1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Paso 2.3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$