Cálculo Ejemplos

$(2 x y^{3} + y \cos (x)) d x + (3 x^{2} y^{2} + \sin (x)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y^{3} + y \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + y \cos (x)]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y^{3} + y \cos (x)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y^{3}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $\cos (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y \cos (x)$ con respecto a $y$ es $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x) \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x)$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + \cos (x)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} + \sin (x)]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \cos (x)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $6 y^{2} x + \cos (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $6 y^{2} x + \cos (x)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x + \cos (x) = 6 y^{2} x + \cos (x)$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$6 y^{2} x + \cos (x) = 6 y^{2} x + \cos (x)$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} + \sin (x) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} d y + \int \sin (x) d y$

Paso 5.2

Dado que $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3 x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{2} d y + \int \sin (x) d y$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int \sin (x) d y$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \sin (x) y + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{y^{3}}{3} + C) + \sin (x) y + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y^{3}$ con respecto a $x$ es $y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 8.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\sin (x) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 y^{3} x + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 8.4.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 y^{3} x + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{3} x + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} x + y \cos (x) = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Resta $2 y^{3} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = 2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x$

Paso 9.1.2

Resta $y \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.3.1

Reordena los factores en los términos $2 x y^{3}$ y $- 2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$

Paso 9.1.3.2

Resta $2 y^{3} x$ de $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 0 - y \cos (x)$

Paso 9.1.3.3

Suma $y \cos (x)$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - y \cos (x)$

Paso 9.1.3.4

Resta $y \cos (x)$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 10.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 10.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$

Paso 12

Reordena los factores en $f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + y \sin (x) + C$