Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

Paso 2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$