Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} = e^{x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \frac{1}{x}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (e^{x} - \frac{1}{x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int e^{x} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y + C_{1} = e^{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = e^{x} - \ln (| x |) + C$