Cálculo Ejemplos

$\frac{d c}{d y} = 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d c = (0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}) d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d c = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$c + C_{1} = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$c + C_{1} = \int 0.5 d y + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Paso 2.3.3

Dado que $0.2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $0.2$ fuera de la integral.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Paso 2.3.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Paso 2.3.4.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Paso 2.3.4.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Paso 2.3.4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Paso 2.3.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 (2 y^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$c + C_{1} = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$c = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + K$