Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} - 2 t y = 0$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = - 2 t$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 t d t}$

Paso 1.2

Integra $- 2 t$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- 2 \int t d t}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} t^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} t^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} t^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} t^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{- 1}{1} t^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$e^{- t^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- t^{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- t^{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- t^{2}}$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- t^{2}} (- 2 t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $e^{- t^{2}}$ por $0$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 t y e^{- t^{2}} = 0$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] = 0$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] d t = \int 0 d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- t^{2}} y = \int 0 d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

La integral de $0$ con respecto a $t$ es $0$ .

$e^{- t^{2}} y = 0 + C$

Paso 6.2

Suma $0$ y $C$ .

$e^{- t^{2}} y = C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- t^{2}} y = C$ por $e^{- t^{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- t^{2}} y = C$ por $e^{- t^{2}}$ .

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- t^{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$