Cálculo Ejemplos

$\frac{d P}{d x} = 3 x \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d P = 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d P = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$P + C_{1} = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = 3 \int x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x^{2} + 9$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x^{2} + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$P + C_{1} = 3 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$P + C_{1} = 3 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 2.3.5

Combina fracciones.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$P + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.3.7.2.4.1

Cancela el factor común.

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.4.2

Reescribe la expresión.

$P + C_{1} = 1 u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.5

Multiplica $u^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$P + C_{1} = u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$P + C_{1} = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$P = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + K$