Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x + 7}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $(x + 7) y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{1}{x + 7} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = x + 7$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = x + 7$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 7$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| x + 7 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \ln (| x + 7 |) + 3 C$

Paso 3.3

Simplifica $3 \ln (| x + 7 |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$y^{3} = \ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + C}$