Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $x$ de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Paso 1.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V - V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $V^{2} + V - V$ .

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Paso 6.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0$

Paso 6.1.1.1.2.2

Suma $V^{2}$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2}$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Combinar.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Paso 6.1.3.2

Cancela el factor común de $V^{2}$ .

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Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Paso 6.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1

Mueve $V^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $V^{- 2}$ con respecto a $V$ es $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Reescribe $- V^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$V, 1, 1$

Paso 6.3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$V$

Paso 6.3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ por $V$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ por $V$ .

$- \frac{1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{V}$ al numerador.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Paso 6.3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = \ln (| x |) V + C V$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Reordena los factores en $\ln (| x |) V + C V$ .

$- 1 = V \ln (| x |) + C V$

Paso 6.3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.3.3.1

Reescribe la ecuación como $V \ln (| x |) + C V = - 1$ .

$V \ln (| x |) + C V = - 1$

Paso 6.3.3.2

Factoriza $V$ de $V \ln (| x |) + C V$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $V$ de $C V$ .

$V \ln (| x |) + V C = - 1$

Paso 6.3.3.2.2

Factoriza $V$ de $V \ln (| x |) + V C$ .

$V (\ln (| x |) + C) = - 1$

Paso 6.3.3.3

Divide cada término en $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ por $\ln (| x |) + C$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.3.1

Divide cada término en $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ por $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Paso 6.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $\ln (| x |) + C$ .

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Paso 6.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Paso 6.3.3.3.2.1.2

Divide $V$ por $1$ .

$V = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Paso 6.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ .

$y = - \frac{x}{\ln (| x |) + C}$