Cálculo Ejemplos

$\frac{x y}{x + 1} = \frac{d y}{d x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Cambia los lados para obtener $\frac{d y}{d x}$ en el lado izquierdo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 1}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} y$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 1} y)$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $y$ de $\frac{x}{x + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide $x$ por $x + 1$ .

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Paso 2.3.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 2.3.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 2.3.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Paso 2.3.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Paso 2.3.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Paso 2.3.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.5

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \ln (| x + 1 |) = x + C$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x + 1 |) = x + C$

Paso 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| y (x + 1) |) = x + C$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y x + y \cdot 1 |) = x + C$

Paso 3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\ln (| y x + y |) = x + C$

Paso 3.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y x + y |)} = e^{x + C}$

Paso 3.7

Reescribe $\ln (| y x + y |) = x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y x + y |$

Paso 3.8

Resuelve $y$

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $| y x + y | = e^{x + C}$ .

$| y x + y | = e^{x + C}$

Paso 3.8.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm e^{x + C}$

Paso 3.8.3

Factoriza $y$ de $y x + y$ .

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Paso 3.8.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Paso 3.8.3.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Paso 3.8.3.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{x + C}$

Paso 3.8.3.4

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{x + C}$

Paso 3.8.4

Divide cada término en $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ por $x + 1$ y simplifica.

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Paso 3.8.4.1

Divide cada término en $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ por $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Paso 3.8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.4.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Paso 3.8.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x} e^{C}}{x + 1}$

Paso 4.2

Reordena $e^{x}$ y $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x}}{x + 1}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \frac{C e^{x}}{x + 1}$