Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Paso 1.3.2

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = 3$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = 3$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = 3$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{5}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{5}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{5 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{5})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{5}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{5}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \cdot 3$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{5}{x}$ y $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \cdot 3$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \cdot 3$

Paso 3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 3 x^{5}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = 3 x^{5}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int 3 x^{5} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{5} y = \int 3 x^{5} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$x^{5} y = 3 \int x^{5} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ como $3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{6}$ .

$x^{5} y = \frac{3}{6} x^{6} + C$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x^{5} y = \frac{3 (1)}{6} x^{6} + C$

Paso 7.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Paso 7.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Paso 7.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ por $x^{5}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ por $x^{5}$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x^{5}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $x^{5}$ de $\frac{1}{2} x^{6}$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{5}}$