Cálculo Ejemplos

$6 x^{2} d x - 2 (y d) y = 0$

Paso 1

Resta $6 x^{2} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y d y = - 6 x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - 2 y d y = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int y d y = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$- y^{2} + C_{1} = - 6 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $- 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $- 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{3}$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 6}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 2 x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- y^{2} = - 2 x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2 x^{3}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (- 2 x^{3})$ como $- (- 2 x^{3})$ .

$y^{2} = - (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y^{2} = 2 x^{3} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$y^{2} = 2 x^{3} - 1 \cdot K$

Paso 3.1.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$y^{2} = 2 x^{3} - K$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{2 x^{3} - K}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

Paso 3.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

Paso 3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{2 x^{3} + K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} + K}$