Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x} y = 5 x + 7$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{4}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{4}{x}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{4 \ln (x)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{4})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{4}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{4}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} y) = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{4}{x}$ y $y$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{3} (4 y) = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{4} x + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.3.2

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $x$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 (x^{1} x^{4}) + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.3.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{5} + x^{4} \cdot 7$

Paso 2.3.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{5} + 7 x^{4}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] = 5 x^{5} + 7 x^{4}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} y] d x = \int 5 x^{5} + 7 x^{4} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x^{4} y = \int 5 x^{5} + 7 x^{4} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x^{4} y = \int 5 x^{5} d x + \int 7 x^{4} d x$

Paso 6.2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$x^{4} y = 5 \int x^{5} d x + \int 7 x^{4} d x$

Paso 6.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 7 x^{4} d x$

Paso 6.4

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 7 \int x^{4} d x$

Paso 6.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 7 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Simplifica.

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6}) x^{6} + 7 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Paso 6.6.2

Simplifica.

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Paso 6.6.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{6}$ .

$x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + 7 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Paso 6.6.2.2

Combina $7$ y $\frac{1}{5}$ .

$x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$

Paso 7

Divide cada término en $x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$ por $x^{4}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x^{4}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $x^{4}$ de $\frac{5}{6} x^{6}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{5}{6} x^{2}}{1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Divide $\frac{5}{6} x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{5}{6} x^{2} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.2

Combina $\frac{5}{6}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{4}$ .

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Paso 7.3.1.3.1

Factoriza $x^{4}$ de $\frac{7}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{\frac{7}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3.2.4

Divide $\frac{7}{5} x$ por $1$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{7}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.4

Combina $\frac{7}{5}$ y $x$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{7 x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$