Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x y + y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $x y + y$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y}$

Paso 1.1.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y^{1}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y \cdot 1}$

Paso 1.1.4

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{y^{2} + 1}{y}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 1}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = y^{2} + 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = y^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 y + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \ln (| x + 1 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) = 2 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica $\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |)$ .

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Paso 3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| x + 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 C$

Paso 3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x + 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 C$

Paso 3.4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$

Paso 3.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}})} = e^{2 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Resuelve $y$

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$

Paso 3.7.2

Multiplica ambos lados por ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.7.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.3.1

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 3.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.7.4

Resuelve $y$

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Paso 3.7.4.1

Simplifica $e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 3.7.4.1.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} ((x + 1) (x + 1))$

Paso 3.7.4.1.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.7.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Paso 3.7.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Paso 3.7.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 3.7.4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.7.4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.4.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 3.7.4.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 3.7.4.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Paso 3.7.4.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1)$

Paso 3.7.4.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 3.7.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (2 x) + e^{2 C} \cdot 1$

Paso 3.7.4.1.5

Simplifica.

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Paso 3.7.4.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 1$

Paso 3.7.4.1.5.2

Multiplica $e^{2 C}$ por $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$

Paso 3.7.4.1.6

Reordena los factores en $e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | = x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}$

Paso 3.7.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C})$

Paso 3.7.4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Paso 3.7.4.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} C + 2 x C + C) - 1}$