Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{- y}}{1 + x^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y})$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $e^{- y}$ de $\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$e^{y} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Paso 3.3

Expande $\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$y = \ln (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 3.4

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$