Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{e^{x} - y}{x}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 1.1.2

Resta $\frac{- y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $- \frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $- \frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{- 1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.2.3

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{x}$ al numerador.

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.2.4.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.2.4.3

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.2.4.4

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.2.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int e^{x} d x$

Paso 7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$x y = e^{x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x y = e^{x} + C$ por $x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $x y = e^{x} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$