Cálculo Ejemplos

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ .

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $13.6 - \frac{1}{2} v$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Combina $v$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

Paso 2.2.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

Paso 2.2.2

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

Paso 2.2.3

Sea $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{2} d v$ , de modo que $- 2 d u = d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.3.1

Deja $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Diferencia $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

Paso 2.2.3.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $13.6 - \frac{v}{2}$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Paso 2.2.3.1.2.2

Como $13.6$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $13.6$ con respecto a $v$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Paso 2.2.3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- \frac{v}{2}$ con respecto a $v$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

Paso 2.2.3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.2.3.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Paso 2.2.3.1.4

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 2.2.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Paso 2.2.4.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

Paso 2.2.4.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

Paso 2.2.4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

Paso 2.2.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.4.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

Paso 2.2.6

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Paso 2.2.7

Simplifica.

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Paso 2.2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Paso 2.2.7.2

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.7.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.7.4

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 2.2.7.4.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.7.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.7.4.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Paso 2.2.9

Simplifica.

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.11

Reordena los términos.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

Paso 3

Resuelve $v$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ por $1$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Paso 3.1.2.2

Combina $v$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

Paso 3.2

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

Paso 3.4

Resuelve $v$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ .

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Paso 3.4.3

Resta $13.6$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

Paso 3.4.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Paso 3.4.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.4.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.5.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{v}{2})$ .

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Paso 3.4.5.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{v}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Paso 3.4.5.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Paso 3.4.5.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Paso 3.4.5.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Paso 3.4.5.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.4.5.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Paso 3.4.5.1.1.2.2

Multiplica $v$ por $1$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Paso 3.4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.5.2.1

Simplifica $- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ .

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Paso 3.4.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

Paso 3.4.5.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 13.6$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

Paso 3.4.6

Reordena $- \frac{t}{3}$ y $- \frac{C}{3}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

Paso 4.3

Reescribe $e^{- \frac{t}{3} + C}$ como $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

Paso 4.4

Reordena $e^{- \frac{t}{3}}$ y $e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

Paso 4.5

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$