Cálculo Ejemplos

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

Paso 1

Resta $(2 x + Y) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Cancela el factor común de $2 Y + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Paso 3.4

Multiplica $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Paso 3.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Paso 3.4.3

Combina $\frac{- 2}{2 Y + x}$ y $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Paso 3.5

Combina $Y$ y $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

Paso 3.8

Factoriza $- 1$ de $- Y$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

Paso 3.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - (Y)$ .

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Paso 3.10

Reescribe $- (2 x + Y)$ como $- 1 (2 x + Y)$ .

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Paso 4.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u = 2 Y + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Deja $u = 2 Y + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $2 Y + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 Y + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.3

Como $2 Y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 Y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

Paso 4.3.3

Divide la fracción en varias fracciones.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

Paso 4.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.6

Divide la fracción en varias fracciones.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.7

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.8

Cancela el factor común de $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.8.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.8.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.9

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.12

Dado que $2 Y$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2 Y$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.13

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Paso 4.3.15

Dado que $Y$ es constante con respecto a $u$ , mueve $Y$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.3.16

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

Paso 4.3.17

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.17.1

Simplifica.

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Paso 4.3.17.2

Suma $- 4 Y \ln (| u |)$ y $Y \ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Paso 4.3.18

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 Y + x$ .

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Paso 4.3.19

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.19.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.19.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Paso 4.3.19.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Paso 4.3.19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Paso 4.3.19.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.19.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Paso 4.3.19.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Paso 4.3.19.3.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

Paso 4.3.20

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$