Cálculo Ejemplos

$(3 y x^{2}) d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 y x^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$

Paso 1.2

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y x^{2}$ con respecto a $y$ es $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

Paso 1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - x^{3} - 2 y^{4}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3} - 2 y^{4}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} - 2 y^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 2 y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 3 x^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 3 x^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $3 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $3 y x^{2}$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $3 y x^{2}$ por $M$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{3 y x^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 x^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 - 1 \cdot 3 x^{2}}{3 y x^{2}}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 1 \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 3)}{3 y x^{2}}$

Paso 4.3.2.3

Resta $3$ de $- 3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 6}{3 y}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Paso 4.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (y)}$

Paso 4.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Paso 4.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{y}$

Paso 4.3.5

Sustituye $3 y x^{2}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $3 y x^{2} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $3 y x^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 y x^{2} \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $y$ de $3 y x^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} \frac{1}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Paso 6.3

Combina $3$ y $\frac{1}{y}$ .

$x^{2} \frac{3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Paso 6.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Paso 6.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $- x^{3} - 2 y^{4}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $- x^{3} - 2 y^{4}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- x^{3} - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.8

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.9

Factoriza $- 1$ de $- 2 y^{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - (2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.11

Reescribe $- (x^{3} + 2 y^{4})$ como $- 1 (x^{3} + 2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- 1 (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 x^{2}}{y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{3 x^{2}}{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $\frac{3}{y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{3}{y} \int x^{2} d x$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $\frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $\frac{3}{y}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y \cdot 3} x^{3} + C$

Paso 8.3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 \cdot y} x^{3} + C$

Paso 8.3.2.3

Multiplica $3$ por $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{3} + C$

Paso 8.3.2.5

Combina $\frac{1}{y}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y} + g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{y} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{y}$ con respecto a $y$ es $x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 11.5.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Suma $\frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} + x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Suma $- x^{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Suma $0$ y $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Cancela el factor común de $y^{4}$ y $y^{2}$ .

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Paso 12.1.1.5.1

Factoriza $y^{2}$ de $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1.1.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Paso 12.1.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Paso 12.1.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{1} = 0$

Paso 12.1.1.5.2.4

Divide $2 y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} = 0$

Paso 12.1.2

Resta $2 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- 2 y^{2}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y$

Paso 13.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Paso 13.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.5.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Paso 13.5.2

Simplifica.

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Paso 13.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{3} y^{3} + C$

Paso 13.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + C$

Paso 15.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2 y^{3}}{3} + C$