Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y - 8 x y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $2 x y$ de $2 x^{2} y - 8 x y$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2 x y$ de $2 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (x) - 8 x y$

Paso 1.1.2

Factoriza $2 x y$ de $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (x) + 2 x y (- 4)$

Paso 1.1.3

Factoriza $2 x y$ de $2 x y (x) + 2 x y (- 4)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (x - 4)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y (x - 4))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y (x - 4))$

Paso 1.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y (x - 4))$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $x y (x - 4)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (x (x - 4)))$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (x (x - 4)))$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x (x - 4))$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4)$

Paso 1.3.5

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x^{2} + x \cdot - 4)$

Paso 1.3.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x^{2} - 4 \cdot x)$

Paso 1.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} + 2 (- 4 x)$

Paso 1.3.8

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - 8 x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (2 x^{2} - 8 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x^{2} - 8 x d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x^{2} - 8 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Combina $- 8$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 2.3.6.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{3}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + C}$ como $e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}}$