Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - 4 = 8 x^{3} - 3 x^{2}$ , $y (1) = 5$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (8 x^{3} - 3 x^{2} + 4) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 4 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 4 d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Paso 2.3.7.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$y + C_{1} = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $5$ por $y$ en $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ .

$5 = 2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$ .

$2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Paso 4.2

Simplifica $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \cdot 1 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Paso 4.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 - 1 + 4 + K = 5$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$1 + 4 + K = 5$

Paso 4.2.2.2

Suma $1$ y $4$ .

$5 + K = 5$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 5 - 5$

Paso 4.3.2

Resta $5$ de $5$ .

$K = 0$

Paso 5

Sustituye $0$ por $K$ en $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $0$ por $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + 0$

Paso 5.2

Suma $2 x^{4} - x^{3} + 4 x$ y $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x$