Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Paso 1.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y$ de $\frac{1}{x + 7} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

Paso 1.2.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x + 7}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x + 7$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x + 7$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 7$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| x + 7 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

Paso 3.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x + 7 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por ${(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de ${(x + 7)}^{2}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Simplifica $e^{C} {(x + 7)}^{2}$ .

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Paso 3.5.4.1.1

Reescribe ${(x + 7)}^{2}$ como $(x + 7) (x + 7)$ .

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

Paso 3.5.4.1.2

Expande $(x + 7) (x + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

Paso 3.5.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

Paso 3.5.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Paso 3.5.4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Paso 3.5.4.1.3.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

Paso 3.5.4.1.3.1.3

Multiplica $7$ por $7$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

Paso 3.5.4.1.3.2

Suma $7 x$ y $7 x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

Paso 3.5.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

Paso 3.5.4.1.5

Simplifica.

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Paso 3.5.4.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

Paso 3.5.4.1.5.2

Mueve $49$ a la izquierda de $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

Paso 3.5.4.1.6

Reordena los factores en $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$