Cálculo Ejemplos

$\frac{d A}{d t} = 0.07 A$ , $A (0) = 100$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{A}$ .

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{A} (0.07 A)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 0.07 \frac{1}{A} A$

Paso 1.2.2

Combina $0.07$ y $\frac{1}{A}$ .

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{0.07}{A} A$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $A$ .

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{0.07}{A} A$

Paso 1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 0.07$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{A} d A = 0.07 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{A} d A = \int 0.07 d t$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{A}$ con respecto a $A$ es $\ln (| A |)$ .

$\ln (| A |) + C_{1} = \int 0.07 d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| A |) + C_{1} = 0.07 t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| A |) = 0.07 t + C$

Paso 3

Resuelve $A$

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Paso 3.1

Para resolver $A$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| A |)} = e^{0.07 t + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| A |) = 0.07 t + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0.07 t + C} = | A |$

Paso 3.3

Resuelve $A$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| A | = e^{0.07 t + C}$ .

$| A | = e^{0.07 t + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$A = \pm e^{0.07 t + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{0.07 t + C}$ como $e^{0.07 t} e^{C}$ .

$A = \pm e^{0.07 t} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{0.07 t}$ y $e^{C}$ .

$A = \pm e^{C} e^{0.07 t}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$A = C e^{0.07 t}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $100$ por $A$ en $A = C e^{0.07 t}$ .

$100 = C e^{0.07 \cdot 0}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{0.07 \cdot 0} = 100$ .

$C e^{0.07 \cdot 0} = 100$

Paso 6.2

Simplifica $C e^{0.07 \cdot 0}$ .

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Paso 6.2.1

Multiplica $0.07$ por $0$ .

$C e^{0} = 100$

Paso 6.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$C \cdot 1 = 100$

Paso 6.2.3

Multiplica $C$ por $1$ .

$C = 100$

Paso 7

Sustituye $100$ por $C$ en $A = C e^{0.07 t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $100$ por $C$ .

$A = 100 e^{0.07 t}$