Cálculo Ejemplos

$\frac{d p}{d t} = t^{2} p - 3 p + t^{2} - 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} p - 3 p) + t^{2} - 3$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d p}{d t} = p (t^{2} - 3) + 1 (t^{2} - 3)$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $t^{2} - 3$ .

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} - 3) (p + 1)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{p + 1}$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((t^{2} - 3) (p + 1))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $p + 1$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $p + 1$ de $(t^{2} - 3) (p + 1)$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) (t^{2} - 3))$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) (t^{2} - 3))$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - 3$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{p + 1} d p = (t^{2} - 3) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{p + 1} d p = \int t^{2} - 3 d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = p + 1$ . Entonces $d u = d p$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = p + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d p}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $p + 1$ .

$\frac{d}{d p} [p + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $p + 1$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $1$ con respecto a $p$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int t^{2} - 3 d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int t^{2} - 3 d t$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $p + 1$ .

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} - 3 d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 3 d t$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 3 d t$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 3 t + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C$

Paso 3

Resuelve $p$

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Paso 3.1

Para resolver $p$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| p + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C} = | p + 1 |$

Paso 3.3

Resuelve $p$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$ .

$| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{3}$ .

$| p + 1 | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$p + 1 = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$

Paso 3.3.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C} - 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$ como $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} e^{C}$ .

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} e^{C} - 1$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t}$ y $e^{C}$ .

$p = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} - 1$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$p = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} - 1$