Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 25 e^{x} - x^{2}$ , $y (0) = 19$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (25 e^{x} - x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $25$ es constante con respecto a $x$ , mueve $25$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 25 \int e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - \int x^{2} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + C_{1} = 25 e^{x} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $19$ por $y$ en $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ .

$19 = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$

Paso 4.2

Simplifica $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + 25 e^{0} + K = 19$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + 25 e^{0} + K = 19$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$0 + 25 e^{0} + K = 19$

Paso 4.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 25 \cdot 1 + K = 19$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $25$ por $1$ .

$0 + 25 + K = 19$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $25$ .

$25 + K = 19$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 19 - 25$

Paso 4.3.2

Resta $25$ de $19$ .

$K = - 6$

Paso 5

Sustituye $- 6$ por $K$ en $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 6$ por $K$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} - 6$

Paso 5.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{3}}{3} + 25 e^{x} - 6$