Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $y^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Paso 3.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Paso 3.3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Paso 3.4

Reescribe la ecuación como $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Paso 3.5

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $\arctan (y)$ del interior de la tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Paso 3.6

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Paso 3.7

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Paso 3.8

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Paso 3.9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $\arctan (y)$ del interior de la tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Paso 3.10

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Paso 3.11

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$