Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2} e^{y}$ , $y (1) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} ({(x + 2)}^{2} e^{y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $e^{y}$ de ${(x + 2)}^{2} e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.2.2

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = (x + 2) (x + 2)$

Paso 1.2.3

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Paso 1.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Paso 1.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 1.2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 1.2.4.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 1.2.4.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Paso 1.2.4.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x + 4$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (x^{2} + 4 x + 4) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2.1.2.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- e^{u} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Paso 2.3.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x + \int 4 d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 4 d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Paso 2.3.6.3

Reordena los términos.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $e^{- y}$ por $1$ .

$e^{- y} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (2 x^{2})$ como $- (2 x^{2})$ .

$e^{- y} = - (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3})$ como $- (\frac{1}{3} x^{3})$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 1 \cdot (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.8

Reescribe $- 1 \cdot (4 x)$ como $- (4 x)$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.9

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.10

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - 1 \cdot K$

Paso 3.1.3.1.11

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln (e^{- y})$ ; para ello, mueve $- y$ fuera del logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Paso 3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Paso 3.4

Divide cada término en $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Paso 3.4.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ como $- \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ .

$0 = - \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ .

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$

Paso 6.2

Divide cada término en $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)$ por $1$ .

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\ln (- 2 \cdot 1 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\ln (- 2 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\ln (- 2 - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.3

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.4

Combina $- 2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.6.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\ln (\frac{- 6 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.6.2

Resta $1$ de $- 6$ .

$\ln (\frac{- 7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.8

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.9

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (\frac{- 7 - 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.11.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\ln (\frac{- 7 - 12}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.11.2

Resta $12$ de $- 7$ .

$\ln (\frac{- 19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$

Paso 6.3

Para resolver $K$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (- \frac{19}{3} + K)} = e^{0}$

Paso 6.4

Reescribe $\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{19}{3} + K$

Paso 6.5

Resuelve $K$

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{19}{3} + K = e^{0}$ .

$- \frac{19}{3} + K = e^{0}$

Paso 6.5.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{19}{3} + K = 1$

Paso 6.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.5.3.1

Suma $\frac{19}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 1 + \frac{19}{3}$

Paso 6.5.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$K = \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Paso 6.5.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{3 + 19}{3}$

Paso 6.5.3.4

Suma $3$ y $19$ .

$K = \frac{22}{3}$

Paso 7

Sustituye $\frac{22}{3}$ por $K$ en $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $\frac{22}{3}$ por $K$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{22}{3})$