Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(2 + y)}^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(2 + y)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.4

Reescribe $- u^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 + y, 1, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$2 + y, 1, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 + y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ por $2 + y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ por $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2 + y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 + y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = x (2 + y) + K (2 + y)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = x \cdot 2 + x y + K (2 + y)$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- 1 = 2 \cdot x + x y + K (2 + y)$

Paso 3.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = 2 x + x y + K \cdot 2 + K y$

Paso 3.2.3.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$- 1 = 2 x + x y + 2 K + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 x + x y + 2 K + K y = - 1$ .

$2 x + x y + 2 K + K y = - 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y + 2 K + K y = - 1 - 2 x$

Paso 3.3.2.2

Resta $2 K$ de ambos lados de la ecuación.

$x y + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Paso 3.3.3

Factoriza $y$ de $x y + K y$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y x + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y x + y K = - 1 - 2 x - 2 K$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $y$ de $y x + y K$ .

$y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$

Paso 3.3.4

Divide cada término en $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ por $x + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Divide cada término en $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ por $x + K$ .

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $x + K$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 1 - 2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 1 - 2 x - 2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.2.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 x - 2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 x) - 2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (2 x)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - 2 K}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - (2 K)}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.2.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1 + 2 x) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x + 2 K)}{x + K}$

Paso 3.3.4.3.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1 + 2 x + 2 K}{x + K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{1 + 2 x + K}{x + K}$