Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t y}{t^{2} + 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1} y$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (\frac{8 t}{t^{2} + 1} y)$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $\frac{8 t}{t^{2} + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = t^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = t^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 t + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $2 t$ y $0$ .

$2 t$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Simplifica $- 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| t^{2} + 1 |}^{4}) = C$

Paso 3.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| t^{2} + 1 |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y |) - \ln ({(t^{2} + 1)}^{4}) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Simplifica $e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$ .

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Paso 3.5.4.1.1

Usa el teorema del binomio.

$| y | = e^{C} ({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.5.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{4}$ .

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Paso 3.5.4.1.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{3}$ .

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Paso 3.5.4.1.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{2 \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.5.4.1.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{2 \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1 + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1^{4})$

Paso 3.5.4.1.2.1.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1)$

Paso 3.5.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} t^{8} + e^{C} (4 t^{6}) + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Paso 3.5.4.1.3

Simplifica.

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Paso 3.5.4.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Paso 3.5.4.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Paso 3.5.4.1.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C} \cdot 1$

Paso 3.5.4.1.3.4

Multiplica $e^{C}$ por $1$ .

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$

Paso 3.5.4.1.4

Reordena los factores en $e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$ .

$| y | = t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C})$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm (t^{8} C + 4 t^{6} C + 6 t^{4} C + 4 t^{2} C + C)$