Cálculo Ejemplos

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x - 2 y - 1$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y - 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2 y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 1.2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (x - 3)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x - 3)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x - 3)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Paso 2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 = - 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 + 1}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $- (x - 3)$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- (x - 3)$ por $N$ .

$\frac{- 2 + 1}{- (x - 3)}$

Paso 4.3.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{- 1}{- (x - 3)}$

Paso 4.3.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{1}{x - 3}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$ .

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Paso 5.1

Sea $u = x - 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1.1

Deja $u = x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 5.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Paso 5.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | u | + C$

Paso 5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$μ (x, y) = | x - 3 | + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$ por el factor integrador $x - 3$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x - 2 y - 1$ por $x - 3$ .

$(x - 2 y - 1) (x - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Paso 6.2

Expande $(x - 2 y - 1) (x - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Paso 6.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Paso 6.3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{2} - 3 \cdot x - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Paso 6.3.3

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Paso 6.3.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Paso 6.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Paso 6.4

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $- (x - 3)$ por $x - 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) (x - 3) d y = 0$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x - - 3) (x - 3) d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x + 3) (x - 3) d y = 0$

Paso 6.8

Expande $(- x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x (x - 3) + 3 (x - 3)) d y = 0$

Paso 6.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) d y = 0$

Paso 6.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Paso 6.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.9.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.9.1.1.1

Mueve $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Paso 6.9.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Paso 6.9.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Paso 6.9.1.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x - 9) d y = 0$

Paso 6.9.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 6 x - 9) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} + 6 x - 9 d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = - x^{2} + 6 x - 9$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y]$ .

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Paso 11.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(- x^{2} + 6 x - 9) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9]$ .

$y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 6 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (- (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3.5

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3.7

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y (- 2 x + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3.9

Multiplica $6$ por $1$ .

$y (- 2 x + 6 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.3.10

Suma $- 2 x + 6$ y $0$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (- 2 x) + y \cdot 6 + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.5.2

Mueve $6$ a la izquierda de $y$ .

$y (- 2 x) + 6 y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y$

Paso 12.1.2

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$ .

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Paso 12.1.3.1

Reordena los factores en los términos $- 2 y x$ y $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 x y + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Paso 12.1.3.2

Suma $- 2 x y$ y $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 + 0 - 6 y$

Paso 12.1.3.3

Suma $x^{2} - 4 x + 6 y + 3$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 - 6 y$

Paso 12.1.3.4

Resta $6 y$ de $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 0 + 3$

Paso 12.1.3.5

Suma $x^{2} - 4 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $x^{2} - 4 x + 3$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Paso 13.5

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Paso 13.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Paso 13.7

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Paso 13.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Paso 13.9

Simplifica.

$g (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Paso 13.10

Reordena los términos.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Paso 15.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$