Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y^{2} x = x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $y^{2} x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = x + y^{2} x$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x + y^{2} x$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y^{2} x$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y^{2} x$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y^{2}$

Paso 1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y^{2})$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2}))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $1 + y^{2}$ de $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \tan (\frac{x^{2}}{2} + K)$