Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y)}{(1 - x)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 1 - y$ . Entonces $d u_{1} = - d y$ , de modo que $- d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 1 - y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 1 - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| 1 - y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Paso 3.2

Resta $\ln (| 1 - x |)$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$

Paso 3.3

Divide cada término en $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Paso 3.3.2.2

Divide $\ln (| 1 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{1}$

Paso 3.3.3.1.4

Divide $\ln (| 1 - x |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \ln (| 1 - x |)$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 - y |) - \ln (| 1 - x |) = - C$

Paso 3.5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$

Paso 3.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |})} = e^{- C}$

Paso 3.7

Reescribe $\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}$

Paso 3.8

Resuelve $y$

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$

Paso 3.8.2

Multiplica ambos lados por $| 1 - x |$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Paso 3.8.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.3.1

Cancela el factor común de $| 1 - x |$ .

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Paso 3.8.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Paso 3.8.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| 1 - y | = e^{- C} | 1 - x |$

Paso 3.8.4

Resuelve $y$

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Paso 3.8.4.1

Reordena los factores en $e^{- C} | 1 - x |$ .

$| 1 - y | = | 1 - x | e^{- C}$

Paso 3.8.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm | 1 - x | e^{- C}$

Paso 3.8.4.3

Reordena los factores en $\pm | 1 - x | e^{- C}$ .

$1 - y = \pm e^{- C} | 1 - x |$

Paso 3.8.4.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$

Paso 3.8.4.5

Divide cada término en $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.8.4.5.1

Divide cada término en $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.8.4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.4.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.8.4.5.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.8.4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.4.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.4.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.8.4.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ como $- (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.8.4.5.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = - (\pm C | 1 - x |) + 1$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = - (C | 1 - x |) + 1$