Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = 8 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (8 t + 6 t^{2}) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 8 t d t + \int 6 t^{2} d t$

Paso 2.3.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 8 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

Paso 2.3.4

Dado que $6$ es constante con respecto a $t$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $8$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Combina $6$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 2.3.6.2.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 4 t^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $2$ por $y$ en $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ .

$2 = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Paso 4.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 + 4 \cdot 1 + K = 2$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 + 4 + K = 2$

Paso 4.2.2

Suma $2$ y $4$ .

$6 + K = 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 2 - 6$

Paso 4.3.2

Resta $6$ de $2$ .

$K = - 4$

Paso 5

Sustituye $- 4$ por $K$ en $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 4$ por $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} - 4$