Cálculo Ejemplos

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d w}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $\sqrt{w}$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{w}$ como $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Mueve $w^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $w^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $w$ es $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Multiplica $(8 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $x$ .

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Paso 2.3.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.1.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.6

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{4}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $w$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.2.2

Divide $w^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.3

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 3.1.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $8 \ln (| x |)$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{4 \ln (| x |)}{1} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.3.2.4

Divide $4 \ln (| x |)$ por $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + 4 \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.4

Simplifica $4 \ln (| x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.5

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$w^{1} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + C)}^{2}$