Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$ , $y (- 2) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} (\frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combinar.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $e^{2 y}$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $e^{2 y}$ de ${(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$e^{2 y} d y = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 y$ . Entonces $d u_{1} = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.2.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = 2 + 3 x$ . Entonces $d u_{2} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = 2 + 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.3.2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 + 3$

Paso 2.3.2.1.4

Suma $0$ y $3$ .

$3$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Paso 2.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $12$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{- 4}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 + 3 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{2 + 3 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = - \frac{4}{2 + 3 x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + \frac{K (2 + 3 x)}{2 + 3 x})$

Paso 3.2.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K (2 + 3 x)}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K \cdot 2 + K (3 x)}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 \cdot K + K (3 x)}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 4 + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.4.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $2 K$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) - (- 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.4.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4) - (- 2 K)$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $3 K x$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x))}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x)$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K - 3 K x))}{2 + 3 x}$

Paso 3.2.2.1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{2 y} = - \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{2 y})$ ; para ello, mueve $2 y$ fuera del logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $- 2$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ .

$0 = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})}{2}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Establece el numerador igual a cero.

$\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación en $K$ .

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Paso 6.2.1

Para resolver $K$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})} = e^{0}$

Paso 6.2.2

Reescribe $\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$

Paso 6.2.3

Resuelve $K$

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Paso 6.2.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ .

$- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$

Paso 6.2.3.2

Divide cada término en $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.3.2.1

Divide cada término en $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{- 1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.2.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.2.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.1.2

Divide $\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$ por $1$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ y $2 + 3 \cdot - 2$ .

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Paso 6.2.3.2.2.1.3.1

Reordena los términos.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.2.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.1.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.1.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.1.3.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.1.3.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{K + K \cdot - 2}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.2.2.2.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $K$ .

$\frac{K - 2 \cdot K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.2.2

Resta $2 K$ de $K$ .

$\frac{- K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.3.2.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- K}{1 - 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.3.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- K}{- 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.2.4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{K}{2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Paso 6.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{e^{0}}{- 1}$ .

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot e^{0}$

Paso 6.2.3.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot e^{0}$ como $- e^{0}$ .

$\frac{K}{2} = - e^{0}$

Paso 6.2.3.2.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot 1$

Paso 6.2.3.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{K}{2} = - 1$

Paso 6.2.3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.2.3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$K = 2 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$K = - 2$

Paso 7

Sustituye $- 2$ por $K$ en $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $- 2$ por $K$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Paso 7.2

Reescribe $\frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$y = \ln ({(- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ .

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} {(\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ .

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{{(2 (- 2 + K x))}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.4.3

Aplica la regla del producto a $2 (- 2 + K x)$ .

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.5

Reescribe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$y = \ln (\sqrt{{(- 1)}^{1}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.6

Evalúa el exponente.

$y = \ln (\sqrt{- 1} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.7

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \ln (i \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.8

Combina $i$ y $\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \ln (\frac{i \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$