Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 8 + 2 x - 3 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (8 + 2 x - 3 x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 8 + 2 x - 3 x^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 8 + 2 x - 3 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 8 d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 3 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C_{5}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 2.3.7.2.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2.3.2.4

Divide $- x^{3}$ por $1$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - x^{3} + C_{5}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - x^{3} + x^{2} + 8 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - x^{3} + x^{2} + 8 x + K$